Divisions euclidiennes par 11 - Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{N}\) tels que \(a=11b+30\) . Écrire la division euclidienne :

1. de \(a\) par \(11\) ;

2. de \(-a\) par \(11\) ;

3. de \(2a+9\) par \(11\) .

Solution

1. On remarque que :  \(a=11b+30=11b+22+8=11(b+2)+8\) avec \(0 \leqslant 8<11\) , donc la division euclidienne de \(a\) par \(11\) s'écrit : \(a=11(b+2)+8\)  (ici \(q=b+2\) et \(r=8\) ).

2. On remarque que :  \(-a=-11b-30=-11b-33+3=11(-b-3)+3\) avec  \(0 \leqslant 3<11\) , donc la division euclidienne de \(-a\) par \(11\) s'écrit : \(a=11(-b-3)+3\)  (ici \(q=-b-3\) et \(r=3\) ).

3. On a :  \(\begin{align*}2a+9=2(11b+30)+9=22b+60+9=22b+69.\end{align*}\) On remarque que : \(2a+9=22b+69=22b+66+3=11(2b+6)+3\)   avec \(0 \leqslant 3<11\) , donc la division euclidienne de \(2a+9\) par \(11\) s'écrit : \(a=11(2b+6)+3\)  (ici \(q=2b+6\) et \(r=3\) ).